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Fonction Logistique et épidémie COVID19 : tentative de prévision au 31/03/2020

 

Depuis le début de cette épidémie COVID19  je me suis posé la question: peut-on modéliser l’expansion de l’épidémie à partir des données (cas recensés, décès recensés) publiées quotidiennement?

N’ayant pas trouvé de réponse toute prête, je me suis orienté vers la fonction logistique dont la variation donne l’allure de la variation du nombre de cas de contamination recensés mieux que la fonction exponentielle au moins sur la durée, comme quelques- uns sur le web l’ont signalé.

Déçu de ne voir personne (à ma connaissance) approfondir l’utilisation de cette fonction pour en tirer des conclusions pratiques: nombre total de cas et de décès à l’issue de l’épidémie, variation quotidienne, nombre de cas et de décès chaque jour et cumulés à l’issue de l’épidémie, j’ai entrepris d’étudier ce problème qui ne présente pas une grande difficulté. La fonction logistique est au programme de terminale mais je ne suis pas sûr que toutes les sections l’étudient: à preuve on ne trouve pas sur le web trace d’initiative dans ce sens. Moi-même je ne me souviens pas de l’avoir étudiée ni en terminale ni en taupe d’ailleurs.

 

Pardon pour cette introduction qui suit et qui vous paraitra peut-être indigeste, mais qui me semble indispensable pour bien assoir les graphiques que j’ai calculés.

 

La fonction logistique est simple et elle est utilisée dans la modélisation des populations, des stocks:

                                                                                                                                       

 

                                                                                                    

Cette fonction comporte 3 paramètres: L, k, x0 ; L est la valeur limite de la fonction lorsque le temps x temps vers l’infini; on remarque que la fonction vaut L/2 quand x=x0 et en ce point la dérivée de la fonction atteint son maximum après quoi elle décroit.  x0 est égal à la variable temps (compté en jour ou date après le début du comptage).

k est un paramètre de dimension inverse du temps: k s’exprime en jour-1, autrement dit 1/k est le nombre de jours qui va faire varier x tel que (x-x0)/k augmentera d’une unité c’est-à-dire que exp[-k(x-x0)] va passer d’une puissance entière de e à la puissance immédiatement supérieure ou inférieure suivant que x-x0 est négatif ou positif : 1/e, 1/e², 1/e3 ou e, e², e3....

La dérivée de la fonction logistique est facile à calculer: la fonction est de la forme U / V, et la dérivée est donc de la forme :

(U’V-UV’)/V² soit f’(x)=L*k*exp(-k*(x-x0)/[1+exp-k(x-x0)]²

Cette dérivée est importante car elle va nous donner l’augmentation quotidienne du nombre de cas recensés ou de décès, par définition de la dérivée.

Ce qui est très intéressant: quand on ajuste la fonction f(x) par la méthode des moindres carrés avec les données : on obtient les paramètres L, k, et x0 optimisés et on obtient donc les expressions analytiques à la fois de la fonction et de sa dérivée c’est-à-dire le cumul et la variation quotidienne en fonction du temps.

Ceci ça va encore. 

Mais la suite (traitement de la dispersion des points donnés) n’est pas sortie du chapeau sans effort: il a fallu phosphorer. Je suis un peu rouillé.

Maintenant je vous propose les résultats : voici les graphiques.

1.  FRANCE Logistique_Graph1.pdf et FRANCE Logistique-cas.pdf

la fonction logistique est tracée à partir des données “cas recensés” pour la France: les données “cas recensés cumulés” sont tracées sur le graphique; on constate un fit excellent avec la fonction logistique;

les paramètres optimisés obtenus sont

                                    L=65612 ; k=0,20019 ; x0 = 36,25

cela veut dire que le nombre de “cas recensés” à la fin de l’épidémie sera L=65612 vers le 30 Avril;

au  jour x=x0 après le début du comptage, soit le 29 mars, le nombre de “cas recensés” sera égal à L/2 soit 32806 lorsque la dérivée atteint son maximum;

la fonction dérivée tracée (courbe en cloche) représente le nombre de “cas recensés” quotidiennement: les données comptabilisées sont reportées sur le graphique; les données sont un peu dispersées autour de la courbe qui néanmoins représente bien la tendance des points.

2.  FRANCE Logistique_Graph2.pdf   : il s’agit là des “décès recensés” ; même analyse que pour les “cas recensés”

les paramètres de la fonction logistique calculée sont :

L=24667   k=0,2385  et x0 =25,9

cela signifie qu’à l’issue de l’épidémie vers le 30 avril on comptera 24667 décès; et 26 jours après le début du comptage (le 6 Avril) on aura déjà compté L/2 décès soit 12300 ; au plus fort de l’épidémie au 26ème jour après le début du comptage (soit le 6 Avril) on aura compté jusqu’à 1500 décès par jour.

Par précaution et à titre de vérification, pour les décès j’ai ajouté le graphe en jaune de l’intégrale (calculée) de la dérivée de la fonction logistique correspondante. L’écart entre la fonction logistique et l’intégrale de sa dérivée est en première approximation négligeable pour l’instant : ceci sera examiné ultérieurement.

Heureusement que le gouvernement a durci les mesures de confinement, sinon l’épidémie suivrait non pas une fonction logistique mais suivrait encore une progression exponentielle comme on le verra sur le graphe

 FRANCE Logistique_Graph2b.pdf pour les décès comme exemple.

3. En fait en examinant FRANCE Logistique_Graph1.pdf on constate que les points de données cas/jour recensés sont dispersés de part et d’autre du graphe de la fonction dérivée calculée; la dispersion pour les points cas recensés cumulés est très peu visible par rapport au graphe de la fonction logistique: évidemment c’est un effet d’échelle sur le graphique: l’échelle de l’axe des cas cumulés est dans un rapport 16 comparée à l’échelle des cas/jour.

Quoiqu’il en soit on doit se poser la question de l’influence de la dispersion des points recensés sur les paramètres calculés de la fonction logistique. A priori la fonction calculée (ainsi que sa dérivée) sont le meilleur fit avec les données (au sens des écarts quadratiques). Si on introduit une incertitude de +/- x% sur les données, la fonction logistique et sa dérivée doivent être les fonctions affines correspondantes avec les rapports correspondants (1+x%) et (1-x%).

Par conséquent seul le paramètre L sera modifié dans les mêmes rapports, laissant identique les paramètres k et x0 . Le point central du graphe de la fonction logistique reste inchangé, seul l’extrémum de la fonction est modifié  dans le même rapport ; de même le point du maximum de la dérivée dont l’ordonnée est proportionnelle à L.

C’est bien ce qui est observé sur FRANCE Logistique_Graph3.pdf: les cas calculés ont été affectés d’une incertitude de +/- 20%.

En revanche cela permet de mieux encadrer les points dispersés donnés des cas/jour recensés.

Seule la prise en compte de nouveaux points cas cumulés ou cas/jour recensés peut faire varier aussi bien l’extrémum et le point central de la fonction logistique et l’extrémum de sa dérivée: voir FRANCE Logistique_Graph4.pdf

La situation au 29 Mars est représentée sur FRANCE Logistique_Graph5.pdf avec les valeurs des extrema de la fonction logistique et de sa dérivée et les dates correspondantes. Avec une incertitude de +/- 20% sur les valeurs recensées (en nombre de cas et cas/jour), à la date du jour des dernières données, on peut prédire au rythme du développement actuel de l’épidémie un nombre de cas égal à 65500 compris entre 52500 et 79000 aux environs du 3 Mai.

Le pic (le fameux “sommet de la vague”) maximum de la fonction dérivée est déjà passé le 26 ou 27 mars à un niveau de 3080 à 3280 cas/jour le 26 ou 27 mars.

La même analyse s’applique aux nombres de décès recensés: FRANCE Logistique_Graph2.pdf et FRANCE Logistique-décès.pdf

Au début du comptage, on l’a signalé pour les cas recensés, et on le vérifie pour les nombres de décès recensés, le fit des données est de forme exponentielle: FRANCE Logistique_Graph2b.pdf; progressivement le points de données s’écartent de cette tendance exponentielle (heureusement!) et c’est alors que la fonction logistique représente le mieux l’évolution de la situation en dehors évidemment de toute nouvelle crise de recrudescence (dont on a peur à la sortie du confinement): ceci est un autre problème qu’il faudra traiter en son temps.

La situation pour les nombres de décès au 29 mars est représentée FRANCE Logistique_Graph6.pdf:

plus de 4700 décès cumulés (avec une incertitude supérieure à +/-10%) à l’issue de l’épidémie aux environs du 3 mai (sauf complication nouvelle lors de la sortie du confinement) et un pic de l’épidémie à 333 décès/jour  le 28 mars donc maintenant derrière nous avec la même incertitude (+/-10% ou +/-20%);

le nombre de décès/jour devrait dorénavant à partir du 28 mars baisser tous les jours en poursuivant le confinement strict.

Merci pour votre attention et, dans l’attente de remarques, critiques et suggestions, soyez prudents pour vous, vos proches et nous tous.

mardi 31 mars 2020

Mises à Jour à suivre :      01/04/2020_cas et 01/04/2020_décès

                                        03/04/2020 cas et 03/04/2020 décès

                                        05/04/2020 cas et 05/04/2020 décès

                                        07/04/2020 cas et 07/04/2020 décès

                                        08/04/2020 cas et 08/04/2020 décès

                      10/04/2020 cas et 10/04/2020décès(a) et  10/04/2020 décès(b)                                  

                                                                     13/04/2020 cas et  13/04/2020 décès(b)                                

                                                                     15/04/2020 cas et  15/04/2020 décès(b)                  

                        Examen des limites calculées pour fin Mai               LIMITES-PROJECTIONS_CAS-DECES.pdf

                                                                                                                                                      PROJECTIONS_POUR_FIN_MAI.pdf

                                                                                                                       PROJECTIONS_POUR_FIN_MAI_b.pdf

Prise en compte des nouvelles données Eficiens du 01/04/ au 15/04/2020 intégrant le détail des décès EHPAD  et EMS (effectué le 17/04/2020)

                                        FRANCE Logistique_décès-MAJ-b-b-15-04.pdf   =   15/04/2020 décès(bb)

17/04/2020 cas et  17/04/2020 décès(bb)

                                                           

 

Remarque (12/04/2020).

L’affichage le 8 Avril dans les statistiques journalières du nombre des décès dans les EHPAD et EMS cumulés dans la période précédente (soit un bond de 3834 décès pour ce jour seul) fait exploser le graphique des décès : voir 08/04/2020 décès et 10/04/2020décès(a) .

Le même problème se repose le 9/04/2020 avec un bond de 1341 décès.

Voir remarque sur le site site statistiques :   Note importante : attention, le nombre de décès inclut maintenant les EHPAD (en données cumulées au 10/04 : décès en hôpital : 8 598 – décès en Ehpad : 4 599). L’ajout a commencé le 7/04, aucune remontée le 8/04, puis à nouveau le 9/04 et 10/04. Le nombre de décès en Ehpad n’est communiqué qu’à un niveau global en cumulé. Les tableaux plus granulaires (région, département) ne consolident donc que les décès en hôpital, tel que remonté par Santé Publique France.

J’ai pris le parti de répartir le surnombre de décès du 8/04 venant des EHPAD et EMS sur toute la période précédente au prorata du nombre de décès cumulés de chaque jour : voir 10/04/2020 décès(b)

On observe que la limite du nombre de décès passe de 9500 précédemment à 17500.

 

Il conviendra de tenter de faire la même opération de redistribution pour les journées du 8, 9 et 10/04. Cet afflux de décès sans le détail de leurs dates d’occurrence influence fortement le paramètre L de la fonction logistique, c’est-à-dire le nombre limite de décès. En revanche, le « pic de l’épidémie » au maximum de la courbe en cloche des décès journaliers varie peu : elle est toujours aux environs du début Avril aussi bien pour les cas recensés/jour que pour les décès/jour.

01/05_Dernières actualités: prévisions de fin d'épidémie

La question est posée : peut-on aujourd’hui donner une date estimée de la fin de l’épidémie avec suffisamment de confiance ?

J’ai reçu ce matin transmis par mon frère Dominique ROYERE un message de Jamal NAJIM, un de ses proches, qui nous communique la référence d’une étude menée par SUTD Data-Driven Innovation Lab (When Will Covid-19 End) dans laquelle il est prédit au 29/04/2020 d’après les nouveaux cas recensés quotidiennement, la fin de l’épidémie en France : le 7/05/2020 à 97% et le 19/05/2020 à 99% et complète (100%, fin de l’apparition de nouveaux cas le 10/08/2020.

Le modèle développé est intéressant à examiner :  https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-sir-model-for-spread-of-disease-the-differential-equation-model .Il s’agit d’un modèle à 3 équations différentielles et me semble-t-il 2 paramètres qui sont estimés si je comprends bien. En fait l’article non encore publié de Jianxi Luo repose entièrement sur le modèle SIR (Suceptibles, Infected, Recovered) publié en 2004 par David Smith and Lang Moore

                                      https://www.maa.org/book/export/html/115609         

C’est « le modèle » des études ultérieures de « monitoring prédictif » sur la base d’un système d’équations différentielles. Il est très instructif de lire l’article pour bien comprendre quel est l’intérêt et quels sont les atouts de ce type de modèles.

Ma propre analyse utilisant simplement la Fonction Logistique dite de Verhulst utilise une autre voie (fonction connue à 3 paramètres) mais appartient au même type de modèle de « monitoring prédictif »: elle me permet de prédire (avec toutes les réserves énoncées très clairement dès 2004 pour le « monitoring prédictif » dans leur article par David Smith and Lang Moore ) la fin de l’épidémie en France : le 28/04/2020 à 97% et le 6/05/2020 à 99%  pour ce qui concerne les cas cumulés (recensés au 28/04/2020) et également le 30/04/2020 à 97% et le 3/05/2020 à 99% pour ce qui concerne les décès cumulés (recensés au 28/04/2020).

A partir du 28 Avril on a atteint 97% du nombre total de cas attendus ; il est donc à noter qu’entre le 28 Avril et le 5 Mai, c’est encore plus de 2500 cas qui se seront ajoutés au décompte des cas.

De même pour les décès, entre le 30 Avril et le 3 Mai on aura enregistré près de 500 décès supplémentaires.

Le tableau ci-dessous résume la situation au 28/04/2020 pour la prévision possible de la « fin d’épidémie COVID19 » en France : suivant le critère choisi, la date s’échelonne entre le 28/04/2020 et le 15/05/2020 (à la date du 28/04/2020 !).

28/04/2020

27/04/2020

28/04/2020

29/04/2020

30/04/2020

01/05/2020

02/05/2020

03/05/2020

04/05/2020

05/05/2020

06/05/2020

07/05/2020

08/05/2020

09/05/2020

10/05/2020

11/05/2020

12/05/2020

13/05/2020

14/05/2020

15/05/2020

97% MAX CAS CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97% MAX DECES CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99% MAX DECES CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99% MAX CAS CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3% MAX CAS/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3% MAX DECES/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1% MAX CAS/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1% MAX DECES/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La Fonction Logistique utilise 3 paramètres (L, k, x0 ) dont les valeurs sont obtenues par ajustement de la fonction avec les données par la méthode des moindres carrés.

J’utilise la Fonction Logistique pour les cas recensés et les décès recensés : dans mon traitement de données il y a donc 2 Fonctions Logistiques séparées avec leurs propres paramètres.

                                               CAS COVID19 FRANCE FIN AU 28-04-2020.pdf

                                               DECES COVID19 FRANCE FIN AU 28-04-2020.pdf

                                               CAS COVID19 FRANCE FIN AU 02-05-2020.pdf

                                               DECES COVID19 FRANCE FIN AU 02-05-2020.pdf

 

02/05/2020

27/04/2020

28/04/2020

29/04/2020

30/04/2020

01/05/2020

02/05/2020

03/05/2020

04/05/2020

05/05/2020

06/05/2020

07/05/2020

08/05/2020

09/05/2020

10/05/2020

11/05/2020

12/05/2020

13/05/2020

14/05/2020

15/05/2020

97% MAX CAS CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97% MAX DECES CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99% MAX DECES CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99% MAX CAS CUMULES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3% MAX CAS/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3% MAX DECES/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1% MAX CAS/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1% MAX DECES/JOUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Les plages de dates pour les différents critères varient en fonction des données mises à jour, mais restent semble-t-il un bon guide prévisionnel.

Evidemment tout ceci repose sur les statistiques de cas et de décès https://www.eficiens.com/coronavirus-statistiques que j’utilise comme je l’ai déjà indiqué dans mes références ci-dessous : celles-ci d’après leurs sources référencées sont dignes de confiance dans la mesure où elles sont représentatives et fidèles aux données disponibles. La disponibilité de statistiques plus complètes et exhaustives sur toute la population est un problème évident.

Remarque (04/05/2020)

       Mon attention a été attirée sur les dernières représentations graphiques du 02/05/2020 par les écarts entre certains points (les plus récents en particulier) et la courbe de la Fonction Logistique aussi bien pour les Cas que pour les Décès. Voir :

CAS COVID19 FRANCE FIN AU 02-05-2020.pdf

                                               DECES COVID19 FRANCE FIN AU 02-05-2020.pdf

J’ai pensé alors avoir fait une erreur dans la mise à jour des données. Après vérification, aucune anomalie constatée.

Je me suis alors posé la question : ces derniers points ajoutés, ont-ils une influence sensible sur les paramètres de la Fonction Logistique correspondante ?

A ma grande surprise, en supprimant ces derniers points et même ceux du début des données, les paramètres ne varient que très faiblement : non seulement je n’avais pas fait d’erreur, mais je suis amené à constater une très grande robustesse de la Fonction Logistique aux points centraux de données ; les extrémités des séries (inférieures et supérieures) jouent un rôle faible dans la somme des écarts quadratiques :CQFD.

Remarque (06 & 09 & 12 & 17 &  23/05/2020)

La mise à jour avec les données jusqu’au 23/05/2020 :

CAS COVID19 FRANCE FIN AU 06-05-2020.pdf

DECES COVID19 FRANCE FIN AU 06-05-2020.pdf

CAS COVID19 FRANCE FIN AU 09-05-2020.pdf

DECES COVID19 FRANCE FIN AU 09-05-2020.pdf

CAS COVID19 FRANCE FIN AU 12-05-2020.pdf

DECES COVID19 FRANCE FIN AU 12-05-2020.pdf

CAS COVID19 FRANCE FIN AU 17-05-2020.pdf

DECES COVID19 FRANCE FIN AU 17-05-2020.pdf

CAS COVID19 FRANCE FIN AU 23-05-2020.pdf

DECES COVID19 FRANCE FIN AU 23-05-2020.pdf

 

DATES ESTIMEES FIN DE PANDEMIE COVID19 FRANCE

par FONCTION LOGISTIQUE à partir des données statistiques des 28/04 , 02/05 , 06/05 et 09/05 :

                                       

 

CRITERES ET DATES DONNEES STATS

DATES ESTIMEES FIN PANDEMIE

97% MAX CAS CUMULES 28/04/2020

97% MAX CAS CUMULES 02/05/2020

97% MAX CAS CUMULES 06/05/2020

97% MAX CAS CUMULES 09/05/2020

97% MAX DECES CUMULES 28/04/2020

97% MAX DECES CUMULES 02/05/2020

97% MAX DECES CUMULES 06/05/2020

97% MAX DECES CUMULES 09/05/2020

3% MAX CAS/JOUR 28/04/2020

3% MAX CAS/JOUR 02/05/2020

3% MAX CAS/JOUR 06/05/2020

3% MAX CAS/JOUR 09/05/2020

3% MAX DECES/JOUR 28/04/2020

3% MAX DECES/JOUR 02/05/2020

3% MAX DECES/JOUR 06/05/2020

3% MAX DECES/JOUR 09/05/2020

99% MAX CAS CUMULES 28/04/2020

99% MAX CAS CUMULES 02/05/2020

99% MAX CAS CUMULES 06/05/2020

99% MAX CAS CUMULES 09/05/2020

99% MAX DECES CUMULES 28/04/2020

99% MAX DECES CUMULES 02/05/2020

99% MAX DECES CUMULES 06/05/2020

99% MAX DECES CUMULES 09/05/2020

1% MAX CAS/JOUR 28/04/2020

1% MAX CAS/JOUR 02/05/2020

1% MAX CAS/JOUR 06/05/2020

1% MAX CAS/JOUR 09/05/2020

1% MAX DECES/JOUR 28/04/2020

1% MAX DECES/JOUR 02/05/2020

1% MAX DECES/JOUR 06/05/2020

1% MAX DECES/JOUR 09/05/2020

27/04/2020

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28/04/2020

28/04/2020

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29/04/2020

 

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30/04/2020

 

 

30/04/2020

 

30/04/2020

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01/05/2020

 

 

 

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02/05/2020

 

 

 

 

 

02/05/2020

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DATES ESTIMEES FIN DE PANDEMIE COVID19 FRANCE

par Claude ROYERE à l’aide de la FONCTION LOGISTIQUE à partir des données statistiques des 28/04 , 02/05 , 06/05 , 09/05 et 12/05/2020 :

 

CRITERES ET DATES DONNEES STATS

DATES ESTIMEES FIN PANDEMIE

97% MAX CAS CUMULES 28/04/2020

97% MAX CAS CUMULES 02/05/2020

97% MAX CAS CUMULES 06/05/2020

97% MAX CAS CUMULES 09/05/2020

97% MAX CAS CUMULES 12/05/2020

97% MAX DECES CUMULES 28/04/2020

97% MAX DECES CUMULES 02/05/2020

97% MAX DECES CUMULES 06/05/2020

97% MAX DECES CUMULES 09/05/2020

97% MAX DECES CUMULES 12/05/2020

3% MAX CAS/JOUR 28/04/2020

3% MAX CAS/JOUR 02/05/2020

3% MAX CAS/JOUR 06/05/2020

3% MAX CAS/JOUR 09/05/2020

3% MAX CAS/JOUR 12/05/2020

3% MAX DECES/JOUR 28/04/2020

3% MAX DECES/JOUR 02/05/2020

3% MAX DECES/JOUR 06/05/2020

3% MAX DECES/JOUR 09/05/2020

3% MAX DECES/JOUR 12/05/2020

99% MAX CAS CUMULES 28/04/2020

99% MAX CAS CUMULES 02/05/2020

99% MAX CAS CUMULES 06/05/2020

99% MAX CAS CUMULES 09/05/2020

99% MAX CAS CUMULES 12/05/2020

99% MAX DECES CUMULES 28/04/2020

99% MAX DECES CUMULES 02/05/2020

99% MAX DECES CUMULES 06/05/2020

99% MAX DECES CUMULES 09/05/2020

99% MAX DECES CUMULES 12/05/2020

1% MAX CAS/JOUR 28/04/2020

1% MAX CAS/JOUR 02/05/2020

1% MAX CAS/JOUR 06/05/2020

1% MAX CAS/JOUR 09/05/2020

1% MAX CAS/JOUR 12/05/2020

1% MAX DECES/JOUR 28/04/2020

1% MAX DECES/JOUR 02/05/2020

1% MAX DECES/JOUR 06/05/2020

1% MAX DECES/JOUR 09/05/2020

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